Globala stabilitetsresultat för Einsteins ekvationer

De senaste åren har allmän relativitetsteori fått mycket uppmärksamhet eftersom man nyligen lyckats detektera gravitationsvågor för första gången. Även om detta var ett experimentellt resultat så spelade teoretiska studier av Einsteins ekvationer en viktig roll. Gravitationsvågorna är otroligt svaga och för att kunna detektera dem måste man veta väldigt väl hur vågformen ser ut. För drygt tio år sedan gjordes ett stort genombrott i konsten att lösa Einsteins ekvationer numeriskt och numer kan man till exempel beräkna formen på gravitationsvågorna som alstras när två svarta hål smälter ihop och bildar ett svart hål. Einsteins ekvationer utgörs av ett kopplat system av icke-linjära partiella differentialekvationer och att lösa detta system är alltså väldigt svårt, till och med numeriskt. Bevis av matematiska satser om lösningar till Einsteins ekvationer tenderar ofta att bli mycket omfattande. Ett av de mer intressanta resultaten om Einsteins ekvationer det sista året är ett arbete som visar att lösningar till Einsteins ekvationer kopplat till en realistisk materiamodell är stabila. För att förstå varför detta är viktigt låt oss först betrakta den icke-linjära ordinära differentialekvationen

$\frac{d}{dt}x(t) = x^2(t)$

med begynnelsevärdet $x(0) = x_0 > 0$ . Lösningen ges av

$x(t) = \frac{x_0}{1-x_0 t}$

och existerar alltså endast på intervallet $[0, 1/x_0[$ som är ändligt oavsett hur litet $x_0$ är. Det är alltså långt ifrån självklart att lösningar till icke-linjära differentialekvationer existerar globalt, dvs för alla tider. I ett monumentalt arbete från 1993 bevisade Christodoulou och Klainerman, båda vid Princeton vid den tiden, att om initialdata är tillräckligt små så existerar lösningar till Einsteins ekvationer i vakuum globalt och asymptotiskt så närmar sig lösningarna Minkowskirummet. Beviset är över 500 sidor långt. Einsteins ekvationer kan symboliskt skrivas som

$G_{ab}=8 \pi T_{ab}.$

Resultatet av Christodoulou och Klainerman gäller i fallet med vakuum där stressenergitensorn $T_{ab} = 0$ . Att kunna bevisa ett motsvarande resultat då högerledet beskriver materia på ett realistiskt sätt har varit önskvärt och det är alltså vad man har lyckats åstadkomma nyligen. För att förstå att det kan vara stor skillnad i fallet då $T_{ab}$ inte är noll så kan vi betrakta exemplet då $T_{ab}$ beskriver en perfekt vätska utan tryck. En sådan materiamodell brukar kallas “damm” och är kanske den vanligaste materiamodellen i allmän relativitetsteori, mest för att den är enkel. I fallet med damm (åtminstone en klass av damm-lösningar) gäller dock inte global existens för små data. Oavsett hur små initialdata än är så bildas ett svart hål efter ändlig tid och lösningen upphör då att existera. Man tänker sig dock att detta är en artifakt av att materiamodellen är för förenklad. Förra sommaren publicerades på arXiv två resultat [2, 3] samma dag (inte en slump förstås) som oberoende av varandra visade global existens för små initialdata då materiamodellen utgörs av en kinetisk materiamodell som är mer realistisk än vad damm är och lösningarna närmar sig Minkowskirummet asymptotiskt. Även om resultatet inte är oväntat är det mycket välkommet eftersom det bidrar till en bättre förståelse för hur egenskaper hos lösningar till Einsteins ekvationer beror på materiamodellen man har valt.

Håkan Andréasson, Chalmers och Göteborgs universitet
Ordförande Fysikersamfundets sektion för gravitation

References

[1] D. Christodoulou and S. Klainerman, The Global Nonlinear Stability of the Minkowski Space, Princeton Mathematical Series, Vol. 41 (Princeton University Press, 1993).

[2] H. Lindblad and M. Taylor, Global stability of Minkowski space for the Einstein-Vlasov system in the harmonic gauge. arXix:1707.06079

[3] D. Fajman, J. Joudioux and J. Smulevici, The stability of the Minkowski space for the Einstein-Vlasov system. arXiv:1707.06141